Dwuwymiarowe sformułowania silne i słabe dla problemu eliptycznego
\( -\sum_{i=1,2} \frac{\partial}{\partial x_i} \left( \sum_{j=1,2} a_{ij}(x_1,x_2) \frac{\partial u(x_1,x_2)}{\partial x_j} \right) +\sum_{j=1,2} b_j(x_1,x_2)\frac{\partial u(x_1,x_2)}{\partial x_j} + c(x_1,x_2) u(x_1,x_2) =f(x_1,x_2) \)
\( u(x_1,x_2)= u_D(x_1,x_2) \textrm{ dla } (x_1,x_2) \in \Gamma_D \)
\( \sum_{j=1,2} a_{ij}(x_1,x_2) \frac{\partial u(x_1,x_2)}{\partial x_j} n_i=g(x_1,x_2) \textrm{ dla } (x_1,x_2) \in \Gamma_N \)
\( \sum_{j=1,2} a_{ij}(x_1,x_2) \frac{\partial u(x_1,x_2)}{\partial x_j} n_i + \beta(x_1,x_2) u(x_1,x_2)=g(x_1,x_2) \textrm{ dla } (x_1,x_2) \in \Gamma_R \) gdzie
\( a{ij}, b_j, c,f : {\cal R}^2 \supset \Omega \ni (x_1,x_2) \rightarrow a_{ij}(x_1,x_2),b_j(x_1,x_2),c(x_1,x_2),f(x_1,x_2) \in {\cal R} \)
to dane funkcje oraz
\( u_D : {\cal R}^2 \supset \Gamma_D \ni (x_1,x_2) \rightarrow u_D(x_1,x_2) \in {\cal R} \)
\( g : {\cal R}^2 \supset \Gamma_N \cup \Gamma_R \ni (x_1,x_2) \rightarrow g(x_1,x_2) \in {\cal R} \)
\( \beta : {\cal R}^2 \supset \Gamma_R \ni (x_1,x_2) \rightarrow \beta(x_1,x_2) \in {\cal R} \)
to dane funkcje, oraz brzeg obszaru podzielony jest na fragment na którym określono warunek brzegowy Dirichleta, Neumanna i Robina
\( \partial \Omega = \Gamma_D \cup \Gamma_N \cup \Gamma_R \).
\( B(u,v)=L(v)-B(\hat{u},v) \quad \forall v \in V \) gdzie
\( B(u,v)= \int_{\Omega} \left( \sum_{i=1,2} \sum_{j=1,2} a_{ij}(x_1,x_2) \frac{\partial u(x_1,x_2) }{\partial x_j } \frac{\partial v(x_1,x_2) }{\partial x_j } + \\+\sum_{j=1,2} b_j(x_1,x_2) \frac{\partial u(x_1,x_2) }{\partial x_j } v(x_1,x_2) +c (x_1,x_2 )u(x_1,x_2) \right) dx_1 dx_2 + \)
\( +\int_{\Gamma_R} \beta(x_1,x_2) u(x_1,x_2) v(x_1,x_2) ds \)
\( L(v)= \int_{\Omega} f(x_1,x_2)v(x_1,x_2) dx_1 dx_2 + \int_{\Gamma_R} g(x_1,x_2) v(x_1,x_2) ds \)
gdzie \( \hat{u}_D \) to rozszerzenie warunku brzegowego Dirichleta \( tr \left( \hat{u} \right) = u_D \) na cały obszar \( \Omega \) oraz
\( V = \{ v \in L^2(\Omega):\int_{\Omega} \| v \|^2 +\| \nabla v \|^2 dx_1 dx_2 < \infty, tr(v)=0 \textrm{ on } \Gamma_D \} \).
Sformułowanie silne przemnażamy przez funkcje z przestrzeni \( V = \{ v \in L^2(\Omega):\int_{\Omega} \| v \|^2 +\| \nabla v \|^2 dx_1 dx_2 < \infty, tr(v)=0 \textrm{ on } \Gamma_D \} \) i całkujemy
\( -\color{brown}{\int_{\Omega} \sum_{i=1,2} \frac{\partial}{\partial x_i} \left( \sum_{j=1,2} a_{ij}(x_1,x_2) \frac{\partial u(x_1,x_2)}{\partial x_j} \right)v(x_1,x_2)dx_1dx_2} + \)
\( +\int_{\Omega}\sum_{j=1,2} b_j(x_1,x_2)\frac{\partial u(x_1,x_2)}{\partial x_j}v(x_1,x_2) dx_1 dx_2 +\int_{\Omega} c(x_1,x_2) u(x_1,x_2) v(x_1,x_2) dx_1 dx_2 =\\=\int_{\Omega} f(x_1,x_2) v(x_1,x_2) dx_1 dx_2 \)
Całkujemy przez części (stosując twierdzenie Greena-Gaussa-Ostrogradzkiego) człon zaznaczony na brązowo
\( \int_{\Omega} \left( \sum_{i=1,2} \sum_{j=1,2} a_{ij}(x_1,x_2) \frac{\partial u(x_1,x_2) }{\partial x_j } \frac{\partial v(x_1,x_2) }{\partial x_j } dx_1 dx_2 \right) + \)
\( - \color{red}{ \int_{\Gamma_D } \sum_{i=1,2} a_{ij}(x_1,x_2) \frac{\partial u(x_1,x_2) }{\partial x_j } v(x_1,x_2) n(x_1,x_2) dS } \)
\( - \color{green}{ \int_{\Gamma_N} \sum_{i=1,2} a_{ij}(x_1,x_2) \frac{\partial u(x_1,x_2) }{\partial x_j } v(x_1,x_2) n(x_1,x_2) dS } \)
\( - \color{blue}{ \int_{\Gamma_R } \sum_{i=1,2} a_{ij}(x_1,x_2) \frac{\partial u(x_1,x_2) }{\partial x_j } v(x_1,x_2) n(x_1,x_2) dS } \)
\( +\int_{\Omega}\sum_{j=1,2} b_j(x_1,x_2)\frac{\partial u(x_1,x_2)}{\partial x_j}v(x_1,x_2) dx_1 dx_2 +\int_{\Omega} c(x_1,x_2) u(x_1,x_2) v(x_1,x_2) dx_1 dx_2 =\\=\int_{\Omega} f(x_1,x_2) v(x_1,x_2) dx_1 dx_2 \)
Dla całki po fragmencie brzegu Dirichleta, korzystamy z własności \( v \in V \), czyli \( tr(v)=0 \textrm{ on } \Gamma_D \), dostajemy
\( \color{red}{ \int_{\Gamma_D } \sum_{i=1,2} a_{ij}(x_1,x_2) \frac{\partial u(x_1,x_2) }{\partial x_j } v(x_1,x_2) n(x_1,x_2) dS } = 0 \)
Dla całki po fragmencie brzegu Neumanna, korzystamy z warunku brzegowego
\( \sum_{j=1,2} a_{ij}(x_1,x_2) \frac{\partial u(x_1,x_2)}{\partial x_j} n_i=g(x_1,x_2) \textrm{ dla } (x_1,x_2) \in \Gamma_N \), dostajemy więc
\( \color{green}{ \int_{\Gamma_N} \sum_{i=1,2} a_{ij}(x_1,x_2) \frac{\partial u(x_1,x_2) }{\partial x_j } v(x_1,x_2) n(x_1,x_2) dS } =\\= \int_{\Gamma_N} g(x_1,x_2) v(x_1,x_2) n(x_1,x_2) dS \)
Dla całki po fragmencie brzegu Robina, korzystamy z warunku brzegowego
\( \sum_{j=1,2} a_{ij}(x_1,x_2) \frac{\partial u(x_1,x_2)}{\partial x_j} n_i=g(x_1,x_2) - \beta(x_1,x_2) u(x_1,x_2) \textrm{ dla } (x_1,x_2) \in \Gamma_R \), dostajemy więc
\( \color{blue}{ \int_{\Gamma_R } \sum_{i=1,2} a_{ij}(x_1,x_2) \frac{\partial u(x_1,x_2) }{\partial x_j } v(x_1,x_2) n(x_1,x_2) dS } =\\= -\int_{\Gamma_R } \beta(x_1,x_2) u(x_1,x_2) v(x_1,x_2) n(x_1,x_2) dS + \int_{\Gamma_R } g(x_1,x_2)v(x_1,x_2) n(x_1,x_2) dS \)